关注我们
荆楚网 > 新闻频道 > 最新播报

数学如诗,境界为上

发布时间:2021年12月23日08:58 来源: 光明网-《光明日报》

作者:严加安(中国科学院院士、中国科学院数学与系统科学研究院研究员)

王国维在《人间词话》中提出:“词以境界为最上。有境界自成高格,自有名句。”他说:“有造境,有写境,此‘理想’与‘写实’二派之所由分。”按我理解,“造境”是以意念和想象为境,“写境”是描写现实的景物。王国维还把艺术家分为“写实家”和“理想家”,并认为这两者是相通的。他还写道:“诗人对宇宙人生,须入乎其内,又须出乎其外。入乎其内,故能写之。出乎其外,故能观之。入乎其内,故有生气。出乎其外,故有高致。”

数学家维纳说:“数学是一门精美的艺术”。我认为,数学如同诗歌,评价一项数学成就,也应以境界为上。数学上也有“造境”与“写境”之分,前者是“创造理论”,后者是“解决难题”。数学家也有“写实家”和“理想家”之分,前者是“入乎其内”,侧重应用数学;后者是“出乎其外”,侧重纯粹数学,但两者是互通的。

数学与诗歌有许多共性,下面归纳为八点。

第一,数学和诗歌的源泉都是自然和社会。数学史家克莱因认为:“对自然的深入研究是数学发现最丰富的源泉。”

第二,数学和诗歌都追求和谐与简洁。诗歌是力图通过简洁的语言和韵律,抒发诗人的情怀,表达深邃的哲理。数学的和谐是不言而喻的。至于数学的简洁,一方面数学结果是通过简明的命题或定理的形式来表述的;另一方面,在研究过程中,数学家追求在较少条件下推出尽可能广泛而深刻的结论,或者力图简化已有结果的证明。

第三,数学中的“对偶”与诗词中的“对仗”是异曲同工。诗词中的“对仗”能使意境更加优美,抒情更加感人,哲理更加深邃。数学中的“对偶”使得数学理论变得更加深刻,更加优美。数学中的“对偶”不只是数学的结构和框架,而且是一种思维方式,也是重要的证明工具和技巧。

第四,数学和诗歌的创作都需要直觉和想象力。所谓直觉,就是没有经过意识推理而对某事物产生的理解和判断。当然,任何科学和艺术的创作都需要直觉和想象力,但数学和诗歌更为突出。例如,李白《望庐山瀑布》中诗句“飞流直下三千尺,疑是银河落九天”就极富直觉和想象。这种直觉和想象是源于诗人的形象思维。数学史家克莱因说:“在预测能被证明的内容时,和构思证明的方法时一样,数学家们利用高度的直觉和想象。”法国著名数学家庞加莱认为:“我们靠逻辑来证明,但要靠直觉来发明。”这里的“发明”就是指提出问题和构思证明的方法。

第五,诗歌创作和数学研究都需要激情和灵感。诗人有了激情才能把自己的感悟加深和放大,把内心情感宣泄出来,作品才能打动人和感染人。对数学研究来说,激情来自于探求未知真理的好奇和对美的追求。灵感也叫顿悟,它是一种近乎无意识或潜意识的非逻辑式的创造性思维活动。灵感是对某一问题长期思考以后突然产生的思想火花,有时产生于全神贯注思考问题之际,有时却是在不经意间或意识蒙胧之中。灵感有时也来源于对不同现象的类比和联想。

第六,数学研究和诗歌创作都需要有美感。法国数学家庞加莱在《数学创造》一文中形象地描述了数学美感在数学创造过程中的作用,他说:“各种数学概念在潜意识里碰撞组合,数学直觉从中筛选有意义的组合,进而进行创造。……潜意识做出选择时,所用的标准便是数学的美感,数和形的和谐感,几何学的雅致感。”数学史家克莱因认为:“进行数学创造的最主要驱动力是对美的追求。”

第七,“创新”是数学和诗歌的共同美学准则(即评价标准)。艺术家把“创新”叫作艺术风格。例如,李白的诗“豪迈奔放,飘逸若仙”,是浪漫主义风格;杜甫的诗则“深沉蕴蓄,抑扬曲折”,是现实主义风格。对数学研究而言,创新必须是在一定科学范围内有比较重要的意义。

第八,数学和诗歌的另一共同美学准则就是《人间词话》中所说的“境界为上”。数学的境界包括:1)大道至简,大美天成;2)简洁、和谐、对称、雅致;3)颠覆性的创新;4)交叉、融合、统一。

下面举几个高境界的数学例子。首先是两个美妙的数学公式。一是欧拉公式eiπ+1=0,它把数学里面最基本的几个要素全都整合在一块了,其中1是自然数的单位,0是正负数的分界点,e是自然对数的底,π是圆周率,i是虚数单位。二是欧拉公式V+F-E=2,公式表明:任何一个简单凸多面体,它的顶点数V加上面数F,减去棱数E必定等于2。这两个欧拉公式堪称“大道至简、大美天成”的数学公式。

数论中的三个著名猜想:“哥德巴赫猜想”(任何大于2的偶数可以表为两个素数之和)、“孪生数猜想”(存在无穷多对素数其差等于2)和“黎曼猜想”(黎曼ζ函数所有非平凡零点都位于复平面中实部为1/2的直线上),更是高境界数学的例子,尽管它们都还没有得到证明。又如庞加莱猜想、费尔马大定理、四色定理、伽罗瓦群论、黎曼几何、哥德尔不完备定理、伊藤清的随机分析、香农信息论等,这些都是属于“简洁、和谐、对称、雅致”高境界数学的例子。

20世纪50、60年代,格罗滕迪克对代数几何进行了彻底的革命,建立了“概形理论”,堪称一项颠覆性的创新。他因此于1966年获得菲尔兹奖。在概形理论基础上,数学家们取得了一系列杰出成就:1973年,德利涅证明了韦伊猜想(1978年获菲尔兹奖); 1983年,法尔廷斯证明了莫德尔猜想(1986年获菲尔兹奖);1995年,怀尔斯证明了费马大定理(1996年获菲尔兹特别奖)。

关于“交叉、融合、统一”这一数学境界,我举两个例子。其一是Atiyah-Singer指标定理:紧流形上的椭圆偏微分算子的解析指标(与解空间的维度相关)等于拓扑指标(决定于流形的拓扑性状)。其二是朗兰兹纲领,它是将数学中某些表面上毫不相干的领域(数论、代数几何与约化群表示理论)建立一种本质联系的构想。纲领是由朗兰兹在1967年给韦伊的一封信件中提出的。法籍越南数学家吴宝珠因证明朗兰兹纲领基本引理获得了2010年菲尔兹奖,朗兰兹本人获2018年度阿贝尔奖(编者注:为纪念挪威数学家尼尔斯·亨利克·阿贝尔设立的数学奖,每年颁发一次)。

我本人是研究概率论与随机分析的。我曾试图用诗歌来解析我的专业内涵,写过一首“悟道诗”:

随机非随意,概率破玄机。

无序隐有序,统计解迷离。

下面是我的另一首有关概率论的科学诗《随机与概率》,希望能引起大家对概率论的关注和兴趣。

随机与概率

熙熙人群朋友不期而遇,茫茫宇宙陨星意外撞击。

随机事件发生并非随意,概率破解其中奥秘玄机。

情境重复催生稀有事件,历史长河沉淀自然奇迹。

同班同学常有生日相同,彩民两次中奖并不神奇。

抵押贷款房产汽车按揭,精巧设计需要借助概率。

保费计算基于概率模型,期权定价有赖随机分析。

概率技巧有助破解密码,人工智能需用概率逻辑。

日常生活常遇概率问题,学点概率知识终身受益。

《光明日报》( 2021年12月23日 16版)

【责任编辑:周喆宇】

Copyright © 2001-2024 湖北荆楚网络科技股份有限公司 All Rights Reserved

营业执照增值电信业务许可证互联网出版机构网络视听节目许可证广播电视节目许可证

关于我们 - 版权声明 - 合作咨询

版权为 荆楚网 www.cnhubei.com 所有 未经同意不得复制或镜像